Lab 3 : Rachunek wektorowy i tensorowy

Elipsa opisana na trójkącie $A_1B_1C_1$ jest obrazem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ w pewnej transformacji afinicznej. Napisz program, który mając dane współrzędne punktów $A,B,C,A_1, B_1, C_1$ oraz $P$ będzie sprawdzał, czy punkt $P$ leży wewnątrz, na zewnątrz czy na brzegu elipsy.

Wektory $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ spełniają następujące zależności: \begin{equation*} \begin{split} 4\mathbf{a} - 5\mathbf{b} &\perp 2\mathbf{a}+\mathbf{b}\enspace, \\ 7\mathbf{a} - 2\mathbf{b} &\perp \mathbf{a}-4\mathbf{b} \end{split} \end{equation*} Wyznaczyć kąt zawarty między wektorami $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$

Znaleźć składową wektora $\mathbf{A}= (2,1,4)$ wzdłuż wektora $\mathbf{B}=(2, -5, 4)$.

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Wektor $\mathbf{A}=(2,2,5) $ ma swój początek w początku układu. Znaleźć składowe wektora $\mathbf{B}$, który jest prostopadły do wektora $\mathbf{A}$, ma swój poczatek w punkcie $\mathbf{P}=(1,2,1)$ a koniec na wektorze $\mathbf{A}$.

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Obliczyć pole podstawy czworościanu, którego krawędziami bocznymi są wektory $\mathbf{A},\; \mathbf{B},\;\mathbf{C}$ jak na rysunku.

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Przez każdy wierzchołek czworościanu przechodzi wektor skierowany na zewnątrz, prostopadły do ściany przeciwległej i mający długość wprost proporcjonalną do pola ściany przeciwległej. Wykazać, że suma tych wektorów jest równa zeru.

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Dla jakiej wartości $y$ następujące trzy wektory są koplanarne: \begin{equation*} \mathbf{A}=(3, y, 2) \quad \mathbf{B} = (-1, 4, 2)\quad \mathbf{C} = (2,5,6)\enspace ? \end{equation*}

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Obliczyć objętość równoległościanu wyznaczonego przez wektory $\mathbf{A},\;\mathbf{B}, \;\mathbf{C}$ gdy: \begin{equation*} \begin{split} \mathbf{A} &= (3,-2,-1),\\ \mathbf{B} &= (-1,2,1),\\ \mathbf{C} &= (1,1,4)\enspace . \end{split} \end{equation*}

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Trzy wektory, $\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3$ wychodzą z tego samego punktu $0$. Wykazać, że końce tych wektorów tylko wówczas leżą na jednej prostej, gdy \begin{equation*} \alpha \mathbf{r}_1 + \beta\mathbf{r}_2 + \gamma \mathbf{r}_3 = \mathbf{0} \enspace , \end{equation*} gdzie \begin{equation*} \alpha + \beta + \gamma = 0 \enspace . \end{equation*}

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Znaleźć równanie ogólne i normalne płaszczyzny wyznaczonej przez końce wektorów $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$, gdy: \begin{equation*} \mathbf{A}=(1, -1, 1) \quad \mathbf{B} = (1, 1, -1)\quad \mathbf{C} = (-1,1,1)\enspace . \end{equation*}

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Z punktu $\mathbf{r}_0=(1,2,1)$ spuszczono prostopadłą na płaszczyznę $x-2y+z-7=0$. Znaleźć punkt przebicia tej płaszczyzny przez prostopadłą.

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Napisać skrypt rysujący krzywą daną równaniem: \begin{equation*} \mathbf{r} = \mathbf{A} \cos(t) + \mathbf{B} \sin(t)\enspace. \end{equation*} Użytkownik ma podać wektory $\mathbf{A}$ i $\mathbf{B}$.

Znaleźć równanie walca kołowego o promieniu równym $\rho$.

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Zbadać następujące krzywe i znaleźć ich punkty przecięcia: \begin{equation*} \begin{split} \mathbf{r}_1 &= \frac{\mathbf{A}_1 + \lambda\mathbf{B}_1}{(1+\lambda)^2}, \quad \mathbf{A}_1=(-10, 16, -6), \quad \mathbf{B}_1 = (14, -16, 2)\enspace ; \\ \mathbf{r}_2 &= \frac{\mathbf{A}_2 + \lambda\mathbf{B}_2}{2+2\lambda+2\lambda^2}, \quad \mathbf{A}_2=(-17, 26, -9), \quad \mathbf{B}_2 = (23, -26, 3)\enspace . \end{split} \end{equation*}

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Znaleźć diadę $\Phi$, która trzem liniowo niezależnym wektorom $\mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3$ przyporządkowuje odpowiednie wektory $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ : \begin{align*} &\mathbf{A}_1 = (3,1,1)& & \mathbf{a}_1 = (1,3,2), \\ &\mathbf{A}_2 = (1,-2,1) & &\mathbf{a}_2 = (2,1,3), \\ &\mathbf{A}_3 = (2,0,1) & & \mathbf{a}_3 = (1,1,1) \end{align*}

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

Zbadać, czy następująca transformacja jest jedno-jednoznaczna: \begin{align*} y^1 &= x^1 + x^2 \\ y^2 &= x^2 + x^3\\ y^3 &= x^3 + x^1 \end{align*}

Źródło: {[math2:Karaskiewicz_ZTW_1976]}

<texit>\begin{comment}</texit> prev | up | next <texit>\end{comment}</texit>